单一要素模型

此模型假设短期利率服从下面的随机微分方程式：

$${\displaystyle dr(t)=\left\{\theta (t)-\alpha (t)r(t)\right\}dt+\sigma (t)dW(t)}

然而不论哪个变数都可以假定跟时间相关，因此依对各变数的假设，一般实务上作以下的区别：

• θ 是常数 ─ 瓦西塞克模型
• θ 是跟时间相关的变数 ─ 即赫尔·怀特模型
• θ 还有 α 都是跟时间相关的变数 ─ 赫尔·特模型对瓦西塞克模型，又称为扩展瓦西塞克模型。

双要素模型

双要素赫尔怀特模型 （Hull 2006，pp.657–658） 假设利率的变动服从以下的随机过程:

$${\displaystyle d\,f(r(t))=\left[\theta (t)+u-\alpha (t)\,f(r(t))\right]dt+\sigma _{1}(t)\,dW_{1}(t)\!}

方程中的$${\displaystyle \displaystyle u} 的初始值为零并且服从下面的随机过程:

$${\displaystyle du=-bu\,dt+\sigma _{2}\,dW_{2}(t)}

也就是双要素赫尔怀特模型，多了一个记为$${\displaystyle \displaystyle u}的随机过程，作为干扰项。

以下说明基本的赫尔怀特模型、也就是只有θ ，没有额外的干扰项$${\displaystyle \displaystyle u}。 若目前的利率水准相当高（即r ＞ θ(t)/α）， 利率在服从此一随机微分方程下，对时间的漂移项变动量将会是负值；若目前的利率水准相当低，则漂移项的变动量将会为正。也就是说利率的随机过程将会服从平均奥恩斯坦-乌伦贝克过程。）

θ 是由利率期间结构曲线计算而来，而α 代表的是利率的变动朝着θ 收敛回归的速度，是由使用者自行设定的系数，一般由历史资料推估而来。σ是由市场上所存在可以交易的利率交换选择权跟利率上限选择权的波动校正项历史资料所计算得知。

当α、θ 、σ为常数，依伊藤引理可以证明以下方程成立。

$${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right)+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u)}

且服从正态分布：

$${\displaystyle r(t)\sim N\left(e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right),{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right)}

以此模型评价债券[编辑]

现在时刻为 S ，到期日为 T 的债券折现价格为：（需注意此模型具有仿射期限结构）

$${\displaystyle P(S,T)=A(S,T)e^{-B(S,T)r(S)}}

且

$${\displaystyle B(S,T)={\frac {1-e^{-\alpha (T-S)}}{\alpha }}}

$${\displaystyle A(S,T)={\frac {P(0,T)}{P(0,S)}}\exp(}

$${\displaystyle -B(S,T){\frac {\partial \log(P(0,t))}{dt}}-{\frac {\sigma ^{2}(e^{-\alpha T}-e^{-aS})^{2}(e^{2aS}-1)}{4a^{3}}})}

因此、P(S,T) 的到期时价格、服从对数正态分布。

选择权价格的评价[编辑]

将到期日为S的债券作为基准财，依格赛若夫定理、时刻 S 时具有收益 V(S) 在时刻 t 的价值 V(t) 以下面的公式计算：

$${\displaystyle V(t)=P(t,S)\mathbb {E} _{S}[V(S)|{\mathcal {F}}(t)]}

这边的$${\displaystyle \mathbb {E} _{S}}是以在时刻S时的风险中立测度所计算的附条件机率期待值。并且依一般的风险中立理论，可得在时刻 T 时有收益 V(T) 远期契约价格 $${\displaystyle F_{V}(t,T)}满足

$${\displaystyle F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,S)}，故

$${\displaystyle F_{V}(t,T)=\mathbb {E} _{T}[V(T)|{\mathcal {F}}(t)].\,}成立。

如此一来就可以评价只依存于债券 P(S,T)的各种衍生性金融商品 V的价格。 举例而言，债券卖权的价值为：

$${\displaystyle V(S)=\left\{K-P(S,T)\right\}^{+}}

因为P(S,T)服从对数正态分布，便可依照布莱克-休斯模型的方法进行一般化计算：

$${\displaystyle {E}_{S}[\left\{K-P(S,T)\right\}^{+}]=KN(-d_{2})-F(t,S,T)N(d_{1})}

且

$${\displaystyle d_{1}=\log {\frac {F}{K}}+{\frac {\sigma _{P}^{2}S}{2}}}

$${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma _{P}{\sqrt {S}}}

依此，将（P(0,S) 乘回去后，现在的価値是：

$${\displaystyle P(0,S)KN(-d_{2})-P(0,T)N(-d_{1})}

此处的σ_P 乃是关于 P(S,T) 的对数正态分布的标准。 这边进行复杂的代数计算后，便可得出下列公式并依此了解到跟此模型最基本变数的关系：

$${\displaystyle {\sqrt {S}}\sigma _{P}={\frac {\sigma }{\alpha }}\left\{1-e^{-\alpha (T-S)}\right\}{\sqrt {\frac {1-e^{-2\alpha S}}{2a}}}}

需要注意的是，价值的计算使用了依到期时刻 S 的债券的风险中立测度所计算的期待值，原本的赫尔・怀特过程并不指定特定的测度进行计算。但衍生性金融商品计算时攸关的问题是波动性的测量，因此影响不大。

因为利率上限选择权跟债券的卖权与买权等价，便可依此评价方法评价利率上限选择权。

借着Jamshidian's trick，利率交换选择权的价格的计算，便只是跟即期的短期利率相关的单调函数，因此此选择权的价格便可以赫尔怀特模型计算。